凸轮与曲柄连杆

【崇宁三年·汴京水磨务·陈砚】

陈砚被水磨务的工匠老周请去看一台”犯病”的水碓。那水碓一轮带四杵,本该是水轮转一圈、四杵依次舂下。可眼下它只舂两下,另两杵不是卡住就是乱砸,石臼里的谷子飞得到处都是。老周挠头:“原先好好的,换了个新’拐木’就这样了。”陈砚绕着水轮轴转了一圈,心里有了数——那根新换的拐木(凸轮)角度不对,原本该是均匀分布的四块拐木,有两块偏了将近一寸,导致两个杵的”升程”错位。他蹲下,用炭条在地上画了个圆,把四块拐木的位置标出来,给老周讲:“这拐木就是凸轮,凸轮的’轮廓’决定杵起落的快慢与时机。轮廓匀,四杵就匀;轮廓错,就乱。”老周听得一愣一愣。陈砚又画了个简单的曲柄连杆:一根偏心销钉在轮上转,连着一根杆推拉风箱——”圆周变直线,全靠这个。”他想:宋人已经在用水排、水碓、水击面罗,凸轮与曲柄连杆的雏形他们有了,可只知其然。若把这两样东西的原理吃透、设计量化,整个汴京的机械效率都能上一层。

一、一句话价值

凸轮与曲柄连杆是机械传动的两大基石——前者把旋转变成任意设计的间歇/往复运动,后者把旋转与直线往复互转。宋人已有雏形(水排拐木、水击面罗曲柄),但凭经验,无量化设计。穿越者凭机械工程知识,把凸轮轮廓、曲柄半径、连杆比、死点等参数系统化,即可让水排鼓风、水碓舂米、纺车传动、风箱活塞、机床刀架等一切往复机械的效率与可靠性跃升一个台阶,是通向蒸汽机的关键预备。

二、原理

(一)凸轮机构

凸轮(cam)是一个具有曲线轮廓或凹槽的构件,旋转(或移动)时通过轮廓推动从动件,使其按预定规律运动。

核心概念: - 基圆:以凸轮转动中心为圆心、凸轮轮廓最小向径 r₀ 为半径的圆。基圆是凸轮”不推”时的基准。 - 推程(升程):从动件从基圆位置被推到最远位置的过程,位移 h。 - 远休止:从动件停在最远位置不动。 - 回程:从动件从最远回到基圆位置。 - 近休止:从动件停在基圆位置不动。 - 运动规律:从动件位移 s、速度 v、加速度 a 随凸轮转角 δ 变化的函数。常见: - 等速运动:s=hδ/δ₀,速度恒定,但起止点加速度无穷大——刚性冲击,只宜低速。 - 等加速等减速(抛物线):加速度恒定,起止有加速度突变——柔性冲击,宜中速。 - 余弦加速度(简谐):s=h[1-cos(πδ/δ₀)]/2,加速度连续但有跃变——柔性冲击,中速。 - 正弦加速度(摆线):加速度连续无突变——无冲击,可高速,是最佳规律但轮廓最难加工。 - 压力角 α:凸轮对从动件作用力方向与从动件运动方向的夹角。α 越大,有效分力越小、自锁风险越大。推程许用压力角 [α]≤30°(直动从动件)或 45°(摆动从动件);回程 [α]≤70°–80°。 - 基圆半径与压力角的关系:基圆越小,机构越紧凑,但压力角越大、越易自锁。设计须在紧凑与不自锁间权衡。

凸轮分类: - 按形状:盘形凸轮(最常用,平板上一条曲线轮廓)、移动凸轮(直线移动的楔形)、圆柱凸轮(圆柱面上的凹槽)。 - 按从动件:尖底(易磨损但可精确实现任意轮廓)、滚子(滚动摩擦耐磨损,最常用)、平底(受力均匀,高速好,但只能凸面轮廓)。 - 按封闭方式:力封闭(弹簧或重力压紧)、几何封闭(槽凸轮)。

水排的”拐木”本质是盘形凸轮——卧轴上装数块偏心木块,旋转时拨动偃木(摆动从动件),把旋转变成摆动,再经连杆变直线往复。这是凸轮机构在汉代已应用的明证。

(二)曲柄连杆机构(曲柄滑块机构)

曲柄连杆(slider-crank)是把旋转运动与直线往复运动互转的四杆机构。由曲柄(做整周旋转的杆)、连杆(连接曲柄与滑块的杆)、滑块(做直线往复的构件)、机架组成。

几何关系(对心曲柄滑块,曲柄长 r,连杆长 L):

滑块位移(从曲柄与连杆共线时的极点起算):

x = r(1 - cosθ) + L(1 - √(1 - (r/L)² sin²θ))

近似(当 r/L 较小):

x ≈ r(1 - cosθ) + r²sin²θ/(2L)

滑块速度:

v ≈ rω·sinθ + r²ω·sin2θ/(2L)

滑块加速度:

a ≈ rω²·cosθ + r²ω²·cos2θ/L

其中 θ 为曲柄转角,ω 为曲柄角速度。

关键特性: - 行程:滑块最大位移 = 2r(曲柄长两倍)。故欲得大行程,须大曲柄。 - 速度不均:滑块在行程中点附近最快,在两极点(死点)速度为零。这是往复机械固有的不均匀性。 - 死点:曲柄与连杆共线时(θ=0°, 180°),滑块在极点,机构无法被滑块反向驱动(连杆力通过曲柄中心,无力臂)。这是曲柄连杆的”死点”——蒸汽机、内燃机须用飞轮越过死点。 - 连杆比 λ=r/L:λ 越大(连杆越短),速度越不均、侧向力越大;λ 越小(连杆越长),运动越接近简谐,但机构变长。通常 λ=1/3–1/5。 - 反转:曲柄连杆可逆——曲柄转则滑块往复(水排鼓风);滑块往复则曲柄转(蒸汽机、内燃机)。但滑块驱动时有过死点问题,须飞轮或双曲柄。

历史地位:水排(东汉杜诗)是曲柄连杆雏形,早于西方约一世纪。宋代《闸口盘车图》中的水击面罗明确用曲柄连杆把水轮旋转变成面罗往复筛动,证明宋人已掌握其原理。元代《王祯农书》详绘。这是蒸汽机气缸-活塞-曲轴机构的直接祖先——”蒸汽机 = 汉代水排 + 唐代双动风箱”(李约瑟语)。

三、北宋原料可行性

凸轮与曲柄连杆是”机构”而非”材料”,其原料即木工、铁工、绳索等机械通用材料:

部件	北宋来源	获取难度	备注
凸轮(盘形)	硬木板、铁板	中	硬木(榆、枣、檀)锯削成型;铁凸轮须铁匠锻打,耐磨但价贵
曲柄(偏心销/曲轴)	硬木偏心块、铁销钉	中	木曲柄简单;真”曲轴”(多拐)北宋工艺难,多用偏心销代替
连杆	硬木杆	易	须直、韧、不易变形
滑块/活塞	硬木、皮裹	中	风箱活塞以皮裹木塞
滚子(滚子从动件)	硬木轮、铁轮	中	须配销轴转动灵活
销轴、铰链	铁销、铁钉	中	铁匠可制;精度有限,须手工修配
弹簧(力封闭用)	竹片、劲竹、板簧	中	宋水排用”劲竹”回弹即板簧雏形;钢质螺旋弹簧北宋难制
滑道/导轨	硬木槽、石槽	易	须平直、润滑
润滑脂	动物脂	易	轴承与滑道涂脂减摩

关键限制:北宋无精密机床,凸轮轮廓难以加工到光滑曲线,多用分段直线或圆弧近似;销轴配合靠手工修配,间隙大、磨损快。陈砚的改良重点是”用可加工的近似轮廓+滚子从动件+良好润滑”逼近理想运动,而非追求现代精度。

四、工艺流程

以下按”凸轮设计→曲柄连杆设计→制造→装配→调试”分述。以”水排鼓风改良”为综合实例。

(一)凸轮设计

第一步:确定从动件运动要求

水排偃木(从动件)需要:推程鼓风→远休止(风囊排空)→回程吸气→近休止。简化为”推—停—回—停”循环。

设定: - 风囊有效行程 h = 1.5 尺(约 0.5 m) - 水轮转速 n = 6 转/分(每转 10 秒) - 推程角 δ₀ = 120°(推程占 ¹⁄₃ 圈) - 远休止角 δ₁ = 30° - 回程角 δ₀’ = 120° - 近休止角 δ₂ = 90°

第二步:选择运动规律

低速(n=6)可选等速或等加速等减速。等速有刚性冲击(起止点”砰”地撞),对木机构损害大;选等加速等减速(抛物线),柔性冲击小,轮廓可用圆弧近似。

推程位移(等加速等减速,前半加速后半减速): - 0 ≤ δ ≤ δ₀/2:s = 2h·δ²/δ₀² - δ₀/2 ≤ δ ≤ δ₀:s = h[1 - 2(δ₀-δ)²/δ₀²]

第三步:确定基圆半径

基圆 r₀ 受压力角约束。对心直动滚子从动件盘形凸轮,推程最大压力角 α_max 出现在位移速度比 ds/dδ 最大处。近似经验:

r₀ ≥ (ds/dδ)_max / tan[α] - s

取 [α]=30°,(ds/dδ)_max ≈ h/δ₀ ×(某系数),计算得 r₀ 须大于约 0.8 尺。取 r₀ = 1 尺(余量)。

此处涉及凸轮设计的图解法与解析法,陈砚以现代机械工程知识可计算,但在宋代无精密作图工具,实际靠”试凑+修正”。

第四步:绘制凸轮轮廓(图解法)

以 r₀ 画基圆。
沿凸轮转向(与从动件偏置方向相反)将基圆分度(每 10°或 15°一线)。
沿各分度线量取对应位移 s(δ)(从基圆向外),得各点。
光滑连接各点得理论轮廓。
以滚子半径画一系列小圆,内包络线即实际轮廓。

陈砚用大张麻纸按 1:1 作图,钉在木板上,然后照图在硬木板上描线锯削。轮廓精度靠手工修整,反复试装修正。

第五步:制造凸轮

选硬木板(榆木厚板),刨平,画基圆与轮廓线。
用钢丝锯或木凿沿轮廓线锯削/凿出。
以锉刀(铁锉,铁匠可制)或磨石修整轮廓至光滑。关键部位可镶铁片耐磨。
滚子从动件的滚子以硬木轮(径约 1 寸)配铁销,转动灵活。
凸轮中心钻孔套装于卧轴,以铁销固定。

(二)曲柄连杆设计

以水排双动活塞鼓风改良为例:水轮旋转→曲柄连杆→活塞往复鼓风。

第一步:确定行程与曲柄半径

设风缸活塞行程 S = 1.5 尺,则曲柄半径 r = S/2 = 0.75 尺。

第二步:确定连杆长度

取连杆比 λ = r/L = ¹⁄₄,则 L = 4r = 3 尺。连杆过长则机构庞大,过短则侧向力大、磨损快。λ=¹⁄₄ 是兼顾之选。

第三步:曲柄结构

宋代难造多拐曲轴,采用偏心销曲柄: 1. 水轮卧轴(或立轴经齿轮换向后的卧轴)端部装一圆盘(木或铁)。 2. 圆盘上距中心 r=0.75 尺处装一根铁销(偏心销),销与圆盘垂直。 3. 连杆一端套在偏心销上(销上套铁环或滚子减摩),连杆另一端接活塞杆。 4. 圆盘转一周,偏心销画一个半径 r 的圆,连杆把圆周运动变成活塞 2r=1.5 尺的往复。

第四步:活塞与风缸

风缸:方形或圆筒形木缸,内壁刨光滑。尺寸依风量定,约 1 尺见方、2 尺长。
活塞:硬木板,略小于缸内径,四周嵌牛皮或麻絮作密封(活塞环雏形)。
进气阀、出气阀:皮瓣单向阀,薄牛皮覆于木框孔上,单向启闭。
双动:缸两端各设进、出气阀。活塞前推时,前腔出气、后腔进气;后拉时,后腔出气、前腔进气。一推一拉皆鼓风,风量近乎翻倍。

第五步:越过死点

曲柄连杆在 θ=0°、180°(活塞极点)是死点,单缸单曲柄在死点可能停转。对策: 1. 飞轮:在卧轴上加铸铁或厚木圆盘,利用转动惯量越过死点。这是最简单可靠的法子。 2. 双曲柄错相:若用两套曲柄连杆(带动两风缸),两曲柄错开 90°,则一个在死点时另一个在中点出力最大,输出连续。这是多缸内燃机的原理雏形。

(三)装配与调试

装配时校准各轴平行、各销同心、滑道平直。偏心与卡涩是大敌。
空载手转水轮,检查凸轮与从动件接触是否平滑、曲柄连杆是否顺畅越过死点、活塞是否到位。
有卡涩处修磨,有撞击处调整间隙。
加负载(接风管至炉缸),缓慢通水试转,观察风量、温升、振动。
调整凸轮相位(多凸轮如水碓四杵)使各杵起落均匀——这是老周那台水碓的症结所在。
长时间运行后检查磨损,关键件(凸轮轮廓、销轴、活塞密封)须能更换。

五、难点

凸轮轮廓加工精度:北宋无数控、无精密靠模,轮廓靠手工锯削修磨,误差大。等加速等减速的抛物线轮廓尤难。对策:用圆弧近似(多段圆弧拼接逼近),圆弧可用圆规画、易加工;滚子从动件对轮廓误差不敏感,优先采用。
压力角过大自锁:基圆太小或运动规律选错,压力角超许用值,凸轮推不动从动件甚至卡死。设计须校核 α_max,宁大基圆勿冒险。
死点停转:单曲柄单缸在死点可能停转。飞轮或双曲柄错相是解,但飞轮须足够重、双曲柄须多一套机构,增加成本与复杂度。
销轴磨损与间隙:铁销对木孔,磨损快,间隙渐大,运动冲击与噪声加剧。对策:销孔镶铁套(铁对铁耐磨),定期更换;或用铜套(铜较铁耐磨,但铜贵)。
木件变形与开裂:木凸轮、木连杆受潮、干燥易变形开裂,运动失准。对策:选干燥硬木、关键件刷桐油防腐、避暴晒雨淋。
弹簧力封闭难:力封闭凸轮须弹簧压紧从动件。钢质螺旋弹簧北宋难制,竹片/劲竹弹力有限且易疲乏。对策:优先用几何封闭(槽凸轮,从动件滚子在槽内),或用重力封闭(从动件竖直,自重回程)。
高速振动:转速高时木机构惯性力大、振动剧烈,螺栓松动、销轴断裂。北宋条件下凸轮曲柄机构宜低速(每分钟数十转以内),高速须铁制与精密平衡,非一代可成。
设计与制造的”知行差距”:陈砚懂现代设计理论,但宋代加工精度跟不上设计要求,常须”设计降级”——用近似轮廓、大间隙、低速运行来迁就工艺。这是穿越者最大的挫败感来源之一。

六、价值评估

维度	评级	说明
难度	★★★★	设计须机械工程知识,制造受北宋加工精度制约,反复试错
立身价值	★★★★	凸轮曲柄是所有往复机械的基石,改良水排、水碓、纺车、风箱、机床皆赖此,牵一发动全身
变现速度	中	单独卖”机构”难,须依附具体机械(水排改良、风箱定制)收费;见效在水力作坊改良后
政治风险	★	不涉专卖管制;水排用于冶铁涉铁课但非兵器;以”改良农具、水磨”为名最稳
推荐优先级	高(技术隐性)	非独立变现术,而是贯穿所有机械篇的底层能力,须优先掌握

七、升级路径

凸轮轮廓精化:圆弧近似→解析曲线→靠模加工。须更精密的画图与复制工具,远期。
铁制凸轮与曲轴:木→铁,强度、精度、耐磨跃升。依赖灌钢法与铸造改良,见冶金篇。
滚子轴承:销轴套铜套→滚动轴承(滚珠/滚柱),摩擦骤降。滚珠须精密钢球,极难,列远期。
多缸错相:单缸→双缸/四缸错相,输出连续平稳,通向多缸蒸汽机、内燃机。
飞轮稳速:轻木飞轮→重铸铁飞轮,转速更稳,是蒸汽机前奏。
自动调速:离心调速器(蒸汽机标配)接曲柄连杆系统,自动控速。须精密弹簧与连杆,存疑可试。
通向蒸汽机:凸轮(配气)+曲柄连杆(活塞转旋转)+双动气缸(风箱原理)+飞轮(过死点)→蒸汽机全部要素已在水排与风箱中预演。陈砚的终极布局是把这些要素在宋代分步成熟,为后世(或乱世自保)留蒸汽机雏形。
机床刀架:曲柄连杆驱动机床刀架往复切削(刨床雏形),反过来提升加工精度,形成正反馈——这是工业革命的螺旋上升起点。

八、参考

《后汉书·杜诗传》:东汉杜诗造水排(公元31年),旋转变往复,世界最早凸轮曲柄雏形
《三国志·魏志·韩暨传》:水排改良,“三倍于前”
王祯《农书》卷十九《利用门》:立轮式、卧轮式水排详图,拐木(凸轮)、偃木、木簨结构
《闸口盘车图卷》(五代/宋):水击面罗用曲柄连杆把水轮旋转变面罗往复筛动,宋人已掌握曲柄连杆
李约瑟《中国科学技术史》:“蒸汽机 = 汉代水排 + 唐代双动风箱”
维基百科”连杆机构”:曲柄滑块四杆机构,瓦特连杆,波塞利耶-利普金直线机构
百度百科”古代水力机械”:水排含主动轮、从动轮、曲柄、连杆、皮带传动,现代水轮机前身
光明日报《水力机械在古代欧洲和中国》:水排被西方学者看作曲柄连杆机构最早发明
儒家网吴钩《800年前的水力机械》:宋《闸口盘车图》证明宋代已用曲柄连杆
《机械设计基础》凸轮机构章节:基圆、推程、压力角、运动规律(等速/等加速等减速/余弦/正弦)
知乎”机械设计基础知识”:压力角许用值、基圆与压力角关系、运动规律适用速度
鹏芃科艺、西安建科大机构3D库:曲柄滑块机构位移速度加速度公式、死点、连杆比

【收束】

陈砚替老周把那四块拐木的角度重新校了一遍,又把最易磨损的两块镶了铁片。水轮再转,四杵起落匀净,石臼里谷子不再乱飞。老周喜得抓耳挠腮,硬塞给他一斗米。陈砚推不过收了,走出水磨务时回头望了一眼那台水碓——拐木一升一降,杵一起一落,周而复始。他心里盘算的却不是这架水碓,而是另一台还只画在墙上的物事:一个铁气缸、一个皮活塞、一根连杆、一个曲柄、一个飞轮。把水排的拐木反过来——让活塞推连杆,连杆转曲柄——那就是一台不用水、不用风、只用火的机器。他离那台机器,还差一口”气”。可这口气怎么烧出来,他暂时还没想明白。