拱券与编木拱桥
【建中靖国元年·汴京东水门外·陈砚】
暮春的汴河上,一艘艘漕船首尾相接,自东南往西北慢慢挪。陈砚立在东水门外七里的河岸上,仰头看那座横跨汴水的木桥。桥没有柱,没有墩,一拱飞架,像一道被风扯弯的彩虹压在水面上。桥上人多得像蚂蚁搬家,挑担的、推车的、抬轿的,挤成一团,桥身却纹丝不动。
他在心里默默把这座桥拆开:两组拱骨一长一短互相穿插,五道横木把它们绑成一体,化直为曲,化弯为压——这分明就是教科书里的”叠梁拱”。汴京人叫它”虹桥”,城里画师张择端正把这一段画进长卷里去。陈砚搓了搓手,心里发烫:这玩意儿不是图谱上的想象,是他脚下的现实,是这时代匠人凭手感做出来的工程奇迹。可它也会塌。汛水、火灾、虫蛀、朽烂,迟早要了它的命。他若能懂它的”力”在何处,便能加固它、复制它,甚至造一座比它跨度更大的。
一、一句话价值
拱券把砖石”耐压不耐拉”的性子用到极致,编木拱桥则把短木头”编”成大跨度——两项技术都是化弱为强的范本,也是陈砚在北宋最该吃透、最能立刻用于城防与漕运的结构兵器。
二、原理
1. 拱的本质:化弯为压
平梁受横向荷载时弯曲,上部受压、下部受拉。砖、石、土坯这类材料抗压强度可达抗拉强度的十至二十倍,平梁恰恰让它去干最不擅长的活——受拉。这是材料的浪费,也是结构的隐患。
拱券(拱形结构)的妙处在于:荷载沿拱的曲线传递,主要产生沿拱轴的轴向压力,弯矩被大幅削减。压力顺着一块块拱石(楔形,宋称”券石”)传到两侧拱脚,由拱座与地基承受侧推力。
\[\text{拱内力以轴向压力为主} \Rightarrow \text{砖石抗压优势充分发挥,避开抗拉软肋}\]
一句话:拱让石头只干它愿意干的事——被压。
2. 推力线与拱轴线
拱之所以稳,不在它”圆”,而在有一条看不见的”压力线”始终落在拱体厚度之内。
- 推力线(thrust line,又称压力线、line of pressure):拱在某一组荷载下,各截面合力作用点的连线。它是拱内力流动的”骨架”。
- 拱轴线:拱几何中心线。理想状态下,拱轴线应与恒载(自重)作用下的压力线重合——此时拱截面几乎只受压、不受弯,材料效率最高,称为合理拱轴线。
- 安全判据:只要推力线始终落在拱圈厚度的”中三分”(middle third)内,截面不出现拉应力,砖石拱即处于安全状态;推力线一旦越出拱体范围,拱即在该处开裂、乃至崩塌。
不同荷载对应不同的合理拱轴线:
| 荷载分布 | 合理拱轴线 | 典型场景 |
|---|---|---|
| 均布径向荷载(如水压) | 圆弧线 | 涵洞、水管 |
| 竖向均布荷载(桥面均载) | 二次抛物线 | 拱桥(空腹近似) |
| 恒载自拱顶向拱脚递增(实腹拱) | 悬链线 | 实腹石拱桥 |
工程上无法让一条拱轴线同时匹配恒载与所有活载,故取恒载压力线为设计基准——恒载占比最大,最稳。
3. 侧推力:拱的”脾气”
拱在传竖向荷载的同时,必然在拱脚产生水平外推力。这是拱与梁最根本的区别。
\[H = \frac{qL^2}{8f}\]
其中 H 为水平推力,q 为均布荷载,L 为跨度,f 为矢高(拱顶至拱脚连线的垂直距离)。
关键结论:矢跨比 f/L 越小(拱越”坦”),推力 H 越大。坦拱省材料、桥面缓,但对拱座抗推要求极高;陡拱推力小但桥面陡峭、行车不便。赵州桥取 f/L ≈ 1/5,是坦拱与陡拱的精妙折中。
拱脚抗推的三种解法: 1. 厚重拱墩:单跨拱两侧砌大体积墩台,以自重摩擦抵抗推力。 2. 连拱互抵:多跨拱桥相邻两跨的推力方向相反、互相抵消,仅在桥端需设抵抗墩。 3. 拉杆:在两拱脚间穿钢拉杆(或铁拉杆),把推力”内化”。宋代已有铁拉杆做法(赵州桥即用铁拉杆联系二十八道并列券)。
4. 砖石拱的三种基本形态
(1) 筒拱(barrel vault) - 一道拱券沿直线延伸,形成隧道状拱顶。 - 两侧需承重墙承受侧推力,墙上门窗洞口不能开大,采光与空间布局受限。 - 北宋多见于墓室、窑炉、城门洞。
(2) 十字拱(groin vault) - 两道等跨筒拱正交相贯,相贯线为棱(groin)。 - 重量集中到四角的墩柱,摆脱了连续承重墙的束缚,内部空间自由、采光改善。 - 施工难度高,须精确切割相贯处的异型石。罗马君士坦丁巴西利卡即用三间十字拱(跨 25.3 m,高 40 m)。 - 北宋条件下难做大型十字拱(缺天然水泥/火山灰混凝土),但小尺度砖砌十字拱可试。
(3) 穹顶(dome) - 一道拱绕其竖轴旋转一周形成的旋转面。 - 荷载沿经线与纬线双向传至环形底座,底座受环向压力(穹顶下部受环向拉力,是薄弱处)。 - 罗马万神庙为混凝土整体浇筑穹顶(直径 43.3 m);北宋无混凝土,砖砌穹顶需层层叠涩收分,跨度有限,多见于小型墓顶、窑顶。
陈砚的判断:在北宋条件下,砖石拱的主战场是城门洞、桥拱、墓室、窑炉——筒拱与单跨圆弧拱最现实;十字拱、穹顶留作”高阶副本”,待石灰砂浆与砖材品质上来后再碰。
5. 编木拱桥:用短木”编”出大跨度
木桥的难处在于木材长度有限(一根巨木不过十余米),又怕潮湿腐朽。北宋匠人的解法极其巧妙——把短木像编竹筐一样横纵交织,化直为曲,形成拱。这就是《清明上河图》汴河虹桥的结构本质,现代桥梁史家唐寰澄先生命名为叠梁拱(后又称贯木拱)。
结构组成(以汴水虹桥为典型):
主拱由两套拱骨系统编织而成:
- 第一系统(长拱骨系统):三根等长长拱骨,沿桥纵向顺次搭接成一道缓拱,构成主承重拱形。
- 第二系统(短拱骨系统):两根长拱骨加两根短拱骨(”五长两短”之七根拱木为一组,两组构成第一、第二系统)交替排列,与第一系统横纵穿插。
- 横木(横梁):五道横木贯穿两组系统交叉点,将纵向拱骨横向连成整体,保证结构整体性与抗侧倾能力。
- 纵梁与桥面:横梁上承纵梁,纵梁上铺木板为桥面;桥面两边立栏杆。
受力机制:
- 桥面荷载先传到纵梁,再传到横木。
- 横木把荷载分给两组拱骨系统——两组系统通过”互相承托”形成整体拱形。
- 拱骨受弯矩与轴向压力的复合作用:既部分像梁(受弯),又部分像拱(受压)。木拱并非纯压结构,这是它与砖石拱的根本差异。
- 拱脚处拱骨的水平分力由两岸的石固岸(”叠巨石固其岸”)承受——这点与石拱一样,必须有可靠的抗推基础。
为什么”编”得住?
木材虽不耐压于砖石,但抗弯、抗拉远胜砖石。编木拱巧妙利用木材抗弯抗拉优势,又借拱形把大部分荷载转化为轴向压力,让木材同时发挥两类强度。短木通过”叠、压、贯、挤、拉、别”的联排组合,跨越了远超单根木材长度的空间——这是中国工匠对”短材跨越大空间”的绝妙回答。
陈砚的现代解读:编木拱桥本质是一种预应力木拱架的雏形。各拱骨之间的咬合产生摩擦与挤压力,节点处的柔性微动又能耗能减震。它和应县木塔的柔性节点一样,是”以柔克刚”的工程哲学。
6. 敞肩拱:赵州桥的千年密码
赵州桥(安济桥,隋匠李春造,约 605 年)是单孔敞肩坦弧石拱桥,其精妙之处有四:
- 圆弧坦拱:拱并非半圆,而是小于半圆的圆弧段,矢跨比 f/L ≈ 1/5(矢高 7.23 m,跨 37.02 m)。坦拱桥面平缓,车马上下便利;但推力大,对拱座要求高。
- 敞肩:主拱两肩各设两个小拱(外肩跨 3.81 m,内肩跨 2.8 m),而非实腹填石。
- 减重:省石料、减自重,桥台压力与水平推力同步降低,桥台可做得轻巧。
- 泄洪:汛期四个小拱过水,减少水流对桥身的冲击。
- 受力优化:敞肩结构使拱轴线截面上的拉应力被消除,受力更均衡。
- 纵向并列砌券:主拱由 28 道独立拱券沿桥宽并列组成,每道券宽约 35 cm,独立砌筑、独立承重、独立维修。一道坏了不必拆全桥。
- 横向联系:为防 28 道并列券分离,桥两头略宽(9 m)向中心略收(8.5 m),使外券在重力下有向内倾斜的分力,互相靠拢;又以铁拉杆、护拱石加强横向联系。
- 天然地基:桥台直接落在洨河粗砂冲积层上,五层石条砌成,浅基础——李春对当地土质的精准判断,使桥台千四百年沉降仅约 5 cm。
陈砚的工程笔记:赵州桥不是孤例,是一种桥型范本。它的敞肩、坦拱、并列券三件套,正是北宋条件下可借鉴、可改良的现成方案。北宋虽不能造 37 米跨石拱(缺石灰水泥、缺组织能力),但十米上下的小型敞肩石拱桥完全可做。
三、北宋原料可行性
砖石拱部分
| 原料/条件 | 北宋可得性 | 备注 |
|---|---|---|
| 黏土砖(青/红) | 充足 | 见《01-砖瓦烧制》;标准化条砖 240×115×53 mm 可定制 |
| 石材(石灰岩/砂岩/花岗岩) | 充足 | 汴京周边黄河冲积层乏山石,须自太行山、嵩山运石;沿汴水漕运可至 |
| 石灰(砌筑砂浆) | 可得 | 见《02-石灰与糯米浆》;石灰+糯米浆+砂的三合浆为宋代最优砌筑材料 |
| 铁拉杆 | 可得 | 见《06-钢铁改良》;熟铁锻造,用于横向联系并列券 |
| 拱胎木(施工支架) | 充足 | 松杉木搭满堂支架,合龙拆胎 |
| 工匠(石匠/瓦作) | 充足 | 《营造法式》卷十五有”石作制度”“砖作制度”详规 |
| 砂(骨料) | 充足 | 河砂、山砂皆可 |
编木拱桥部分
| 原料/条件 | 北宋可得性 | 备注 |
|---|---|---|
| 长木(杉/松/榆/赤杨) | 充足 | 汴京木行自江淮、江南沿汴水运木;杉木通直、质轻、耐水,为首选 |
| 横木(粗栎/榆) | 充足 | 受横向挤压,宜用硬木 |
| 节点连接(竹钉/铁钉/绳索/榫卯) | 充足 | 汴水虹桥原构造”无支架、无榫头、不用钉”(见上海金泽普庆桥复建法),全凭捆绑与咬合;改良版可加铁箍、竹钉增强 |
| 石固岸(拱座) | 可得 | “叠巨石固其岸”,两岸砌石台为拱脚抗推基础 |
| 防腐(桐油/漆/丹艧) | 可得 | 《东京梦华录》载虹桥”饰以丹艧”——以朱漆防腐兼装饰;桐油浸渍更耐水 |
| 工匠(木作) | 充足 | 汴京木作匠人遍及城乡;编木拱工艺本就源自宋代 |
关键文献佐证
- 《宋会要》:”编木为之,钉贯其中”——明确记载编木拱结构与”贯木”做法。
- 《东京梦华录·河道》:”自东水门外七里至西水门外,河上有桥十三。从东水门外曰虹桥,其桥无柱,皆以巨木虚架,饰以丹艧,宛如飞虹。”——陈砚脚下这座桥的现成描述。
- 王辟之《渑水燕谈录》:明道年间(1032–1033)青州一”牢城废卒”在太守夏竦支持下造南阳桥,”累巨石固其岸,取大木数十相贯,架为飞桥,无柱。至今五十载,桥不复坏”——编木拱的首创者与地点明确。
- 《宋史·陈希亮传》:陈希亮知宿州时,因汴河柱梁桥”常坏舟”,”始作飞桥,无柱,以便往来。诏赐缣以褒之,仍下其法,自畿邑至于泗州,皆为飞桥”——汴水虹桥由陈希亮自青州南阳桥仿制推广,时间约庆历年间(1041–1048)。
时间线对陈砚极有利:青州首创(约 1032)→ 宿州汴水推广(约 1045)→ 汴京东水门外建虹桥(约 1050 前后)→ 张择端绘入《清明上河图》(约 1101)。也就是说,编木拱桥是陈砚穿越前后汴京城里最”新”也最”火”的桥型,工匠技艺正熟,文献记载完备,复制与改良的条件齐备。
四、工艺流程
A. 砖石拱(以单跨圆弧石拱桥为例,跨度 6–10 m)
一、选址与勘地基 - 选河岸稳固、地基均匀处;避开回填区与软泥层。 - 验地基承载力:粗估夯土 100–200 kN/m²,砂砾石 200–300 kN/m²,岩基 500+ kN/m²。桥台须落在硬层上。 - 桥台位置挖至持力层,铺碎石夯实,砌五层石条为基础(仿赵州桥做法)。
二、定拱形(陈砚改良:以推力线指导选型) - 定跨度 L 与矢高 f。建议矢跨比 f/L 取 1⁄3 至 1/5: - 1⁄3 偏陡,推力小、桥面陡,宜步行桥; - 1⁄5 偏坦,推力大、桥面缓,宜车马桥,但拱座须更厚。 - 拱轴线选圆弧线(施工最简,6–10 m 小跨可用),或抛物线(活载较大者)。 - 拱圈厚度 d 按 L 的 1⁄15 至 1⁄20 估取(6 m 跨取 30–40 cm 厚)。
三、砌拱座(桥台) - 拱座体积须足:以自重摩擦抵抗拱脚水平推力 H。 - 粗算:拱座自重 G ≥ H/μ,μ 为基底摩擦系数(石-土约 0.4–0.5)。 - 拱座背靠河岸原状土,借被动土压力共同抗推。
四、搭拱胎(木模架) - 满堂木支架搭至拱腹形状,上铺木板成拱形胎面。 - 胎面须预留”起拱量”(约 L/300),抵消拆胎后的微量下沉。
五、砌拱券 - 自两侧拱脚向拱顶对称砌筑,每排券石楔形(外宽内窄),灰缝用石灰糯米浆。 - 关键石——拱顶石(lock stone,宋称”龙口石”)最后嵌入,必须紧密。拱顶石一合,拱始能承重。 - 多道并列券者(仿赵州桥),每道独立砌筑;道间以铁拉杆或扒钉横向联系。
六、敞肩(可选) - 主拱两肩各留一至二个小拱洞(跨 1–2 m),减重泄洪。 - 小拱亦须有独立拱胎,与主拱同步砌筑。
七、养护与拆胎 - 石灰糯米浆凝结慢,须养护 28 日以上(保持湿润)。 - 拆胎顺序:先松拱顶支撑,再向两侧对称拆,最后拆拱脚。严禁单侧先拆,否则拱偏载失稳。
八、桥面与栏杆 - 拱背上以石灰三合土填平至桥面线,铺石板或砖面。 - 两侧砌石栏杆(望柱+栏板),兼作配重压顶。
B. 编木拱桥(以汴水虹桥型为例,跨度 15–20 m)
一、选料 - 长拱骨:杉木,长 8–12 m,径 25–35 cm(圆木去皮通直)。 - 短拱骨:杉木或赤杨,长 4–6 m,径同上。 - 横木(横梁):榆或栎(硬木),长与桥宽等,径 30–40 cm,五根。 - 纵梁与桥面板:杉木,纵梁径 20 cm,板厚 5–8 cm。
二、防腐 - 木料入水及贴地处浸桐油或煤焦油(若有),全木涂生石灰水防虫。 - 与石岸接触面包油毡或芦苇层,隔水防潮。
三、固岸(拱座) - 两岸河岸砌石台(”叠巨石固其岸”),石台顶面预留拱骨搁置槽。 - 石台背后夯土密实,抵抗拱脚水平推力与上拔力。
四、搭第一系统(长拱骨) - 自一岸起,将三根长拱骨顺次搭接成缓拱:第一根拱骨一端搁入岸槽,另一端搭在第一道横木上;第二根搭在第一道与第三道横木间;第三根搭在第三道横木与对岸槽间。 - 三根长拱骨形成一道跨度近全长、矢高较缓的拱形。
五、穿插第二系统(短拱骨) - 在第一系统的”空档”中,穿插”五长两短”的第二系统拱骨:长拱骨搭于第一系统的横木上方,短拱骨填于第一系统拱骨下方,与第一系统拱骨上下交错、互相承托。 - 两组系统在五道横木处交叉会合,由横木贯穿联系。
六、上横木与节点绑扎 - 五道横木自两岸向跨中依次架设,贯穿两组拱骨交叉点。 - 节点以竹篾绳、麻绳或铁箍绑扎(古法无钉无榫,全靠挤压与摩擦;改良版可加竹钉、铁钉增强)。 - 每个节点检查咬合紧密度,敲实楔紧。
七、架纵梁与桥面 - 横木上架纵梁(与桥向平行),纵梁上铺桥面板。 - 桥面板以企口或搭接拼接,钉于纵梁。
八、立栏杆与饰丹艧 - 桥面两侧立木栏杆(望柱+横栏),栏柱间距约 1 m(《清明上河图》中尺寸)。 - 全桥涂丹艧(朱漆)防腐装饰,亦可涂桐油。陈砚强烈建议加涂桐油两道,朱漆仅装饰,桐油才是真正的防水耐腐。
九、试载与调整 - 拆除一切临时支撑,先以人力空载通行,观察挠度。 - 逐步加载(先轻车、后重车),量测跨中挠度(应 < L/300)。 - 若挠度过大或某节点松动,重新楔紧、补扎。
五、难点
砖石拱
- 拱座抗推不足:拱桥倒塌首因。坦拱尤甚。须严格核算拱座自重与地基摩擦力,宁可保守。
- 拱顶石不紧:合龙时拱顶石松动则全拱松散。须将拱顶石精确打制、敲击入位,灰浆饱满。
- 拆胎过早:石灰浆未凝即拆胎,拱下沉崩塌。须养护足 28 日,拆胎对称缓慢。
- 地基不均沉降:两拱座沉降差致拱偏载开裂。须两拱座同持力层、同施工质量。
- 并列券横向分离:仿赵州桥并列砌法若无横向联系,长期受震后各券分崩。须设铁拉杆、护拱石、收分砌法三重保险。
- 石材长途运输:汴京乏山石,自太行运石成本高。可先用砖拱试点,待石料供应链成熟再上石拱。
编木拱桥
- 节点松动:编木拱全靠节点咬合传力,一个节点松动即引发内力重分布、连锁变形。须每个节点严格楔紧、定期复检。这是陈砚改良重点——以铁箍+竹钉替换部分纯捆绑节点。
- 木材腐朽:贴水、贴地处木材 5–10 年即腐。须严格防腐(桐油浸渍),关键构件定期更换。
- 火灾:木桥最怕火。明隆庆年间赵州桥因船家泊舟失火延烧桥券隙缝而毁;木桥更甚。须桥上禁火、桥下禁泊,备水缸沙袋。
- 拱脚抗推:编木拱同样有侧推力,两岸石固岸须稳。汛水冲刷河岸致石台失稳是常见倒塌原因。
- 跨度极限:编木拱桥极限跨度约 20–30 m(受木材长度与节点承载力限制)。超此须改用石拱或多跨连拱。
- 活载集中:编木拱对集中荷载敏感(重型独车过桥时挠度大)。须限载、限速、分散荷载。
- 施工无图:传统编木拱全凭匠人口传手做,无精确图纸。陈砚引入”以寸为模数”的图纸化施工,是改良关键。
六、价值评估
| 维度 | 评级 | 说明 |
|---|---|---|
| 技术难度 | ★★★★ | 拱轴线与推力线分析需力学功底;编木拱节点设计精妙,非老匠不能为 |
| 立身价值 | ★★★★ | 桥梁与城门洞是基建刚需;编木拱为北宋当红技术,懂行者稀缺 |
| 变现速度 | 中 | 工期长(数月乃至年余),单笔回报大,但需先有口碑与官府关系 |
| 政治风险 | ★★ | 桥梁属公共工程,须官府批文;汴河漕运为国家命脉,动桥须慎重,但风险低于盐铁兵器 |
| 推荐优先级 | 中高 | 非落地首选项,待砖瓦、石灰、力学三篇基础打好后,可作为”成名工程”切入 |
陈砚的隐性账本:
- 编木拱桥的护城河:北宋匠人能做编木拱,但能讲清”为什么这样做”的几乎没有。陈砚能用推力线、合理拱轴线解释每一根拱骨的作用,能优化截面、能计算挠度、能定防腐规程——这种”知其所以然”的工程能力,是他在汴京匠作圈站稳脚跟、结交工部官员的硬通货。
- 石拱的城防意义:城门洞砖石拱抗撞抗塌,远胜木构门楼。若日后汴京外城修缮,砖包城墙+石拱门洞是陈砚能贡献的最实在的城防改良。
- 漕运疏通:汴河是北宋命脉,桥梁与漕船相撞是顽疾(陈希亮造飞桥即为此)。陈砚若能在汴河沿线推广无柱编木拱桥,疏通漕运、减少损舟,是直接功在国家的事,可入仕途。
七、升级路径
- 第一阶(立足期,崇宁元年至三年):先以小尺度砖拱试点——为自家作坊砌一座 3 m 跨砖拱门洞,验证石灰糯米浆砌筑与拆胎工艺。同时,拜汴京老桥匠为师,摸清编木拱的实际施工口诀。
- 第二阶(扩张期,崇宁末至大观初):承揽民间小石拱桥(6–10 m 跨),以力学指导选型,做”坦拱+敞肩”小型化版本,建立口碑。编撰《拱桥便览》小册,以图示+口诀传播。
- 第三阶(体系期,大观至政和):结交工部匠作少监,争取在汴河支流或地方州县试点中型编木拱桥(15–20 m 跨)。引入铁箍、竹钉改良节点;引入桐油浸渍防腐工艺;编标准化施工图。
- 第四阶(战略期,政和至宣和):主持汴京外城险要城门洞的砖石拱改建;为汴河沿线漕运要冲设计无柱飞桥,疏漕通运。储备”城防拱”技术与工匠团队。
- 远期:试制多跨连拱桥(跨汴河主航道),跨间推力互抵;探索砖砌十字拱用于大型仓廪、市场屋顶;为更大跨度石拱桥(仿赵州桥型)做技术储备——这是陈砚心底”若有机会造一座像赵州桥那样千年不倒的桥”的远梦。
与其他技术联动
- 依赖《01-砖瓦烧制》提供标准化砖材;
- 依赖《02-石灰与糯米浆》提供高强度砌筑砂浆;
- 依赖《05-建筑力学基础》的推力线、压屈、节点柔性理论;
- 依赖《06-钢铁改良》提供铁拉杆、铁箍;
- 为《09-城防工程》提供砖石拱门洞技术;
- 为《10-水利与漕运》提供无柱飞桥、拱形涵洞、跌水。
八、参考
- 张择端《清明上河图》(北宋,约 1101)——汴水虹桥图像证据
- 孟元老《东京梦华录·河道》(南宋)——”其桥无柱,皆以巨木虚架,饰以丹艧,宛如飞虹”
- 王辟之《渑水燕谈录》(北宋)——青州南阳桥首创记载
- 《宋史·陈希亮传》——汴水飞桥推广记载
- 《宋会要》——”编木为之,钉贯其中”
- 李诫《营造法式》卷十五”石作制度”“砖作制度”(北宋,1100)
- 唐寰澄《中国木拱桥》《中国科学技术史·桥梁卷》——叠梁拱/贯木拱命名与结构分析
- 唐寰澄《中国古桥技术史》(茅以升主编)——敞肩圆弧拱定义与赵州桥分析
- 刘妍《编木拱桥:技术与社会史》——编木拱桥的中外比较与社会史
- 张嘉贞《赵州桥铭》(唐开元)——”制造奇特,人不知其所以为”“两涯嵌四穴,盖以杀怒水之荡突”
- 梁思成《赵县大石桥即安济桥》(中国营造学社汇刊,1934)
- 现行《公路圬工桥涵设计规范》JTG D61——拱轴线、推力线、矢跨比参照
- Heyman, J. *The Stone Skeleton*(1995)——砖石拱极限分析的推力线法
暮色漫上汴河,那道虹桥的剪影渐渐融进天光。陈砚从怀里掏出半截木炭,在岸边一块青石上画了两组相交的拱骨——长骨、短骨、五道横木。他在心里把推力线一条条描出来,从拱顶弯向拱脚,扎进两岸的石台。他想:这桥还能再撑多久?十年?二十年?他若能说服工部把每个节点都换成铁箍加竹钉,把每个贴水的拱骨都浸过桐油,它或许就能撑到他需要它撑到的那一年。他把炭画抹掉,起身往城里走。背后桥上灯亮了,一盏一盏,像浮在水上的星。