微积分思想

【政和三年·汴京·陈砚】

墨香斋后院的槐树已亭亭如盖。陈砚在书案上摊开三样东西：一卷旧竹简，是他托书坊从相国寺旧书肆觅来的《九章算术》残卷，方田章末尾”半周半径相乘得积步”一行下，有前人朱笔小注”刘徽割圆”四字；一册手抄《梦溪笔谈》卷十八，隙积术一页已被他翻得起毛；一张他自己画的大图，圆内套正六边形，十二边形，二十四边形，一层层密密匝匝，墨色由深至浅。陈砚盯着那张图出神。前夜他教完学徒三角函数表，那孩子问了一句：”陈秀才，圆是圆，多边形是多边形，再怎么割，总有那一点’差’，那一点’差’到底跑到哪里去了？”陈砚当时愣了半晌。这话问得刁钻，恰恰问在了”极限”二字上。他决定把这门学问的根脉理一理——不是要写一本《微积分》，那是百年之后的事；而是要把那一点”差”去哪儿了说清楚。中国本有此学之萌芽，刘徽、祖暅、沈括三人之功，已先欧洲千年。陈砚要做的，是把这三颗种子，与西方牛顿、莱布尼茨的果实，连成一条线。他提笔，在图旁写下四个字：”割之弥细”。

一、一句话价值

微积分思想是”变化”与”累积”的数学——它告诉人：瞬间的快慢可以度量，无穷的碎片可以相加。有了它，弹道不再是猜，历法不再是凑，工程用料不再是估。

二、原理

微积分不是一门手艺，是一种看世界的方式。它回答两个最古老的问题：

其一，什么东西在”变”？变得多快？ ——这是微分的事。 其二，无数细碎的东西”加”起来，是多少？ ——这是积分的事。

这两个问题看似两不相干，却被一条惊天的定理连在一起：微分与积分互为逆运算。此即微积分基本定理，亦称牛顿-莱布尼茨公式。整部微积分的精魂，尽在此一句。

下面分四层说。

第一层：极限——一切之基

极限是微积分的地基。没有极限，微分积分都无从谈起。

何谓极限？一句话：当一个量无限靠近某个值，却永远不必真正到达，我们便说它”趋于”那个值。

最古的例子，是中国人的。《庄子·天下》载惠施之言：”一尺之棰，日取其半，万世不竭。”一根一尺长的木棍，今天取其半，剩半尺；明日取其半，剩四分之一尺；后日再取其半，剩八分之一尺……如此取之不绝，永远剩一点点，永远不归零。可这”剩一点点”会越来越小，小到比任何你能说出的数都小。我们便说：剩余之长”趋于零”。

第 1 日后剩：1/2
第 2 日后剩：1/4
第 3 日后剩：1/8
……
第 n 日后剩：1/(2ⁿ)
当 n 越来越大，1/(2ⁿ) 越来越接近 0

这个”越来越接近，却不必到达”，就是极限。

刘徽的割圆术，用的正是这个理。公元263年，刘徽注《九章算术》，于”方田”章圆田术下写道：

“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

意思是：用圆内接正多边形去”割”圆，边数越多（六边、十二边、二十四边……），多边形周长与圆周长之差就越小；割到不可再割，多边形便与圆合为一体，”所失”归于零。

刘徽从正六边形算起，倍增边数至正九十六边形，得圆周率 ¹⁵⁷⁄₅₀ = 3.14；又算至正三千零七十二边形，得 ³⁹²⁷⁄₁₂₅₀ = 3.1416。他未必有现代的”极限”二字，但他那句”割之又割，以至于不可割”，与今日”n 趋于无穷时，多边形周长趋于圆周长”，意思一般无二。

这是中国早有极限思想的铁证。陈砚要做的，不是把”极限”二字塞给宋人——他们已有其意；而是把这层意思说破，从”暗合”变为”明言”。

第二层：微分——瞬间的快慢

懂了极限，便可谈微分。

设想一辆车从汴京往洛阳走。车有快有慢，途中或停或奔。若问”这趟路平均多快”，好算：总路程除以总时辰。可若问”某一瞬间车有多快”——比如出城门那一刻、过中牟桥那一刻——便不好算。因为”瞬间”没有长短，没有时长，便无法用”路程除以时间”。

怎么办？取一个极短的时段，算这一小段内的平均快慢；再把时段缩得更短，再算；缩到无穷短……这个”无穷短时段内的平均快慢”，就是瞬时速度，亦即导数。

用陈砚教过的阿拉伯数字与符号写：

设路程随时间变化，记为 s(t)
取一段时间 Δt（读作"增量 t"）
这一段时间内走了 s(t+Δt) − s(t)
平均速度 = [s(t+Δt) − s(t)] / Δt
当 Δt 趋于 0 时，这个比值趋于一个确定值
此值即"瞬时速度"，记作 s'(t) 或 ds/dt

这个 ds/dt 就是导数。它度量的是”在 t 这一瞬间，s 变化的快慢”。

导数之妙，在于它把”快慢”从”一段时间”解放到”一瞬间”。宋人算车马行程，只能算平均；有了导数，便能算瞬时。推而广之：

速度是路程的导数（瞬时快慢）
加速度是速度的导数（快慢的变化）
曲线在某点的”陡峭程度”（斜率），是该点切线的倾角之正切，亦即函数的导数

导数是”变化率”的总纲。凡涉”变”——变快变慢、变高变低、变浓变淡——皆可求导。

第三层：积分——无穷碎片的相加

再谈积分。积分回答的是”累积”。

最直白的例子：已知车每一瞬间的速度，求总路程。

若速度恒定，路程 = 速度 × 时间，宋人也会算。可若速度时刻在变，怎么算？

法子是：把时间切成无数小段，每一段内的速度近似看作不变，算出每一段的小路程（速度 × 小时长），再把所有小路程加起来。时段切得越细，近似越准。切到无穷细，加起来的总和，便是真实路程。

把时间 [a, b] 分成 n 小段，每段长 Δt
每段内速度近似为 v(tᵢ)
小路程 ≈ v(tᵢ) × Δt
总路程 ≈ Σ v(tᵢ) × Δt   （Σ 表"累加"）
当 n 趋于无穷、Δt 趋于 0 时，此和趋于一个确定值
此值即"定积分"，记作 ∫ₐᵇ v(t) dt

这个 ∫ 符号，是莱布尼茨发明的，形似拉长的 S，意为”和”（Summa）。

积分的本质，是”无穷多个无穷小量的和”。它与极限一体两面：极限是”趋于”，积分是”趋于之和”。

中国人也早有此意。祖暅（公元5至6世纪，祖冲之之子）在《缀术》中提出：

“缘幂势既同，则积不容异。”

“幂”是截面积，”势”是高。意思是：两个等高的立体，若在任意等高处的截面积都相等，则体积必相等。

这话听着抽象，实则精妙。它说的是：立体可以看作”无数层薄片”叠成，每一层的面积乘以极薄的高，便是这一层的体；无数层相加，便是总体。两个立体若每一层面积都相同，总体自然相同。

这正是积分思想的核心——把整体切成无穷薄片，逐层求积，再相加。祖暅用此原理，算出了球的体积公式 V = (⁴⁄₃)πr³。在西方，意大利人卡瓦列利于17世纪才重新发现同一定理，比祖暅晚了一千一百年。

再看沈括。北宋元祐年间（约1088—1093），沈括居润州梦溪园，著《梦溪笔谈》，卷十八”技艺”门载”隙积术”。所谓隙积，是堆叠有空隙之物——如酒坛、棋子——层层堆成台形，求总数。沈括的算法，是把”不连续的个数”化作”连续的体积”来求，已暗含”以连续模型解离散问题”的思想，此正是积分思维的雏形。沈括给出的公式（以现代符号写）：

设垛积上底宽 a、长 b，下底宽 A、长 B，高 n 层
总数 S = n/6 × [a(2b+B) + A(2B+b) + (B−b)]

此公式实为高阶等差级数求和，开了中国垛积术之先河，南宋杨辉、元代朱世杰继之而发扬。沈括此术，正是”分片求和”的实例——把一堆零散的坛子，当作一个连续体来”积”。

刘徽的割圆（极限）、祖暅的幂势（积分）、沈括的隙积（级数求和），三脉合流，已是微积分的萌芽。所缺者，只是把”微分”与”积分”连起来的那座桥。

第四层：微积分基本定理——那座桥

这是整篇的核心。

微分管”瞬间变化”，积分管”无穷累积”。乍看是两回事，一个除、一个加，南辕北辙。可牛顿与莱布尼茨在17世纪各自发现：这两件事，竟是一件事的正反两面。

定理（牛顿-莱布尼茨公式）：

若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数（即 F'(x) = f(x)）
则定积分
    ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

这句话的意思是：要求 f(x) 从 a 到 b 的积分（无穷累积），不必真的去”切薄片、逐层加”，只须找到 f(x) 的原函数 F(x)，算 F(b) − F(a) 即可。

这是何等的力量！积分本是”无穷次相加”，根本算不动；基本定理把它化为”求一个原函数，再相减”——从无穷运算化为有限运算。

为什么这能成立？直观地看：

速度 v(t) 的积分是路程 s(t)：∫ v(t) dt = s(t) + C
而速度 v(t) 正是路程 s(t) 的导数：s’(t) = v(t)
所以”积分”与”求导”是一对逆运算

求导把路程变成速度，积分把速度变回路程。一来一回，正是逆运算。基本定理把这层关系挑明了：求积分，等于找原函数；找原函数，等于把求导倒过来做。

举个最简单的例子：

已知速度 v(t) = 2t（匀加速，初速为零）
求 0 到 3 时辰内的路程

法一（积分定义）：
  切成无数小段，v(tᵢ)×Δt 相加 —— 算不动
法二（基本定理）：
  v(t) = 2t 的原函数是 F(t) = t² （因为 (t²)' = 2t）
  路程 = F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9

一望而知，法二省力万倍。这便是基本定理的威力。

陈砚能教的，到此为止。至于严密的 ε-δ 定义、实数理论、勒贝格积分——那些是19世纪以后的事，在北宋既无需要也无可能。他只须把”极限—导数—积分—基本定理”这条主线讲透，便已功德圆满。

三、北宋原料可行性

微积分是”思想”，不是”物”，故无原料之虞。但”思想”要落地，须有承载之具。逐项考之：

一、数学前置。 微积分依赖四样东西：(1) 阿拉伯数字与位值制——陈砚已教（见《阿拉伯数字与位值制》）；(2) 代数符号——陈砚可援引宋元天元术”立天元一”的传统，以”天”“地”或字母 x、y 表未知数；(3) 几何与三角——陈砚已教（见《几何与三角》），勾股、相似、圆周率俱备；(4) 函数概念——这是新东西，须从”一个量随另一个量变”讲起，以路程随时间变、面积随边长变引入。四样齐备，方可谈微积分。

二、中国本土数学传统。 这是陈砚最大的凭藉。北宋士人未必听得进”番邦新术”，但一定听得进”先贤遗意”：

刘徽（约225—295，魏晋），《九章算术注》（263年），割圆术，极限思想之祖。其书北宋尚存，士人可知。
祖冲之、祖暅父子（5—6世纪，南北朝），《缀术》，圆周率密率、球体积、祖暅原理。然《缀术》至北宋已佚（”学官莫能究其深奥，故废而不理”），其说散见于《隋书·律历志》与李淳风注《九章算术》所引。
沈括（1031—1095，北宋），《梦溪笔谈》（约1088—1093成书），隙积术、会圆术。沈括乃本朝前贤，士人熟知，援引最便。

陈砚的策略：不称”微积分”（此词清末才造），而称”割圆隙积之学”或”通变之术”，托名刘徽、祖暅、沈括三贤之遗意，自己只作”疏解贯通”之人。如此既不犯”妖言”之忌，又不致被当作奇技淫巧。

三、算具。 宋人用算筹，陈砚已引入阿拉伯数字与纸面竖式。微积分的符号运算（求导、求积）须在纸上进行，算筹不便。故本篇以”纸上符号运算”为前提，依赖前置的阿拉伯数字篇。

四、受众。 微积分非市井之学，陈砚不可教给账房与商号——他们用不上。此篇的目标读者是：陈砚自己日后的工程计算（弹道、水利、结构），以及他书院中极少数天资聪颖、已通代数与几何的弟子。受众窄，但意义深。

四、工艺流程

微积分非手艺，无可”操作步骤”，但有”教学步骤”。以下为陈砚传授此学的八步次第。

第一步：以”日取其半”引入极限

取一尺木棍（或一绳），当场日取其半，演示数日。在竹纸上记：

日  剩余
1   1/2
2   1/4
3   1/8
4   1/16
…
n   1/(2ⁿ)

问学徒：”万世之后，剩多少？”引出”趋于零而不等于零”之意。再引《庄子·天下》”一尺之棰”原文，强调此乃华夏旧学，非番邦新说。

教诀：“取之不绝，趋于零”。此七字须令学徒记死。

第二步：以割圆术巩固极限

画大圆一枚，内作正六边形；再倍增边数，作十二边、二十四边、四十八边。每作一层，量其周长，与圆周比，记其差：

边数    周长（以半径 r=1 计）   与圆周差
 6      6.0000                 大
12      6.2117                 小
24      6.2653                 更小
48      6.2790                 益小
96      6.2821                 微
…       …                      趋于 2π ≈ 6.2832

引刘徽原文：”割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

讲明：刘徽之意，即”边数趋于无穷，周长趋于圆周”。此即极限。中国人早有此说，比欧洲早千年。

第三步：从极限到导数——瞬时速度

以行车为例。画路程-时间图（横轴时辰，纵轴里数），取曲线上两点，连一直线，此线之斜率即两点间的平均速度。令两点靠近、再靠近……两点趋于同一点时，那条直线趋于”切线”，切线斜率即”瞬时速度”。

平均速度 = [s(t+Δt) − s(t)] / Δt
当 Δt 趋于 0，此值趋于 s'(t) —— 瞬时速度

教诀：“两点合一，平均变瞬间”。

以实例练之：s(t) = t²（匀加速运动），求 s’(t)。

[s(t+Δt) − s(t)] / Δt
= [(t+Δt)² − t²] / Δt
= [t² + 2t·Δt + (Δt)² − t²] / Δt
= [2t·Δt + (Δt)²] / Δt
= 2t + Δt
当 Δt 趋于 0，得 s'(t) = 2t

故 t² 的导数是 2t。这一步要让学徒亲手算三五例（t³、t²+t、常数），方能体会”Δt 趋于零后，多余项消失”之妙。

第四步：导数的基本法则

教几条最基本的求导法则（不必求全，够用即可）：

1. 常数导数为零：    (c)' = 0
2. 幂函数：          (tⁿ)' = n·tⁿ⁻¹
3. 和的导数=导数之和：(f+g)' = f' + g'
4. 倍数：            (c·f)' = c·f'

以这几条，便可求多项式之导数。如 s(t) = 3t² + 2t + 1，则 s’(t) = 6t + 2。

这一步是”算”的功夫，须反复练。宋人算筹虽精，但符号运算纸面更便。

第五步：从极限到积分——面积与路程

仍以行车为例，反过来：已知速度 v(t)，求路程。

画速度-时间图，曲线下方的面积即路程。如何求面积？把时间切成若干小段，每段作一细长矩形（高为该段速度，宽为时段），矩形面积之和近似总路程。时段切得越细，矩形越窄，总面积越接近真实面积。

路程 ≈ Σ v(tᵢ) × Δt
当 Δt 趋于 0，此和趋于 ∫ₐᵇ v(t) dt

教诀：“切薄片，叠起来，趋于真”。

引祖暅原理：”幂势既同，则积不容异。”讲明：祖暅把立体切成无数薄片，逐层比面积，正是积分之理。又引沈括隙积术，讲明：沈括把离散的坛子数当作连续体积来求，亦是”以积分思想解离散问题”。

第六步：基本定理——正反合一

此步最关键，也最震撼。

先问学徒：前面求导，t² 的导数是 2t；那么反过来，2t 的”原函数”是谁？自然是 t²（加一常数 C 无妨）。

再问：若 v(t) = 2t，求 0 到 3 的路程，用积分定义要算无穷多个小矩形，算不动；可若用原函数——

v(t) = 2t 的原函数是 F(t) = t²
路程 = F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9

一步即得。

此即微积分基本定理：

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)    其中 F'(x) = f(x)

教诀：“求积不用切，找原函数相减即得”。

讲明此理之深远：微分（求导）与积分（求和）看似两途，实为一事之两面。求导是”拆”，积分是”合”；合是拆的逆。此理牛顿、莱布尼茨于数百年后各自发现，然其根脉——割圆、幂势、隙积——中国先贤已先植千载。

第七步：若干基本积分

既知基本定理，积分便化为”找原函数”。教几条最基本的：

∫a dx = ax + C           （a 为常数）
∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n+1) + C  （n ≠ −1）
∫(f+g) dx = ∫f dx + ∫g dx

以这几条，便可积多项式。如 ∫₀³ (2t + 1) dt = [t² + t]₀³ = (9+3) − 0 = 12。

第八步：应用三则

微积分之用，陈砚只须示其大者三：

一、求面积。 曲线 y = f(x) 下方、x 轴上方、x=a 到 x=b 之间的面积，即 ∫ₐᵇ f(x) dx。宋人只会算直边形，遇曲边形便束手；有了积分，任意曲线下的面积皆可求。

二、求路程。 已知速度求路程（如上例），已知加速度求速度，层层积分而上。此乃运动学之总枢，日后弹道计算之基。

三、求极值。 导数为零处，函数往往取极大或极小。如 s(t) = −t² + 6t，导数 s’(t) = −2t + 6，令其为零，得 t = 3，此即路程最大之时刻。此法在工程优化（用料最省、射程最远、容积最大）中威力无穷。

教诀：“导数为零处，极值在其中”。

五、难点

一、极限之”玄”。 极限最难讲，因它既非”到达”，又非”不到达”，而是”趋于”。宋人重实，初闻”趋于零而不等于零”或觉玄虚。对策：以”日取其半”与割圆术两实例反复演示，令学徒亲见”差越来越小”，自然信服。切忌一上来讲 ε-δ 定义，那是19世纪柯西、魏尔斯特拉斯之事，北宋无此需要，讲了反成障碍。

二、”无穷小”之惑。 学徒或问：”无穷小到底是零还是非零？”此问自古难倒无数聪明人（古希腊芝诺悖论、17世纪贝克莱主教”已死量之魂”之讥）。陈砚的答法：不必纠缠”无穷小是什么”，只须认”极限是什么”。无穷小不是一个个具体的数，而是”趋于零的趋势”。认了趋势，便绕开了哲学泥潭。

三、符号之繁。 导数记号 s’(t)、ds/dt，积分记号 ∫、dx、Δt，对初见者如天书。对策：符号须一个个引入，每引入一个便配三五例练习，不可一次倾倒。陈砚可仿宋人算书体例，先以文字述其义，再以符号表其式，二者并列，便于对照。

四、原函数之难求。 基本定理把积分化为找原函数，可原函数并不好找。如 ∫t² dt = t³/3 好办，∫(1/t) dt = ln|t| 便须引入对数（见《对数表与算盘》篇），∫sin t dt 更须三角函数之原函数。陈砚须诚实告知：本篇只教多项式之导数与积分，更复杂者留待后学。不求全，只求通其理。

五、严密性之取舍。 现代微积分建立在 ε-δ 严密定义之上，每一定理皆有严格证明。陈砚在北宋无法、亦不必如此。他只须以直观与实例立论，把”极限—导数—积分—基本定理”的主线讲清，便是大功。严密化是百年工程，非一人一时可就。宁可少讲，不可错讲；宁可”意会”，不可”硬证”。

六、受众之窄。 微积分门槛高，能学者百中无一。陈砚不可广传，只可在书院中择三五个已通代数几何的弟子秘授。教得太多，一则徒劳，二则引人侧目——”陈秀才弄些甚么古怪符号”，传出去不好。微积分是”种子”，不是”庄稼”，急不得。

七、与中国数学传统之衔接。 陈砚须处处以刘徽、祖暅、沈括为据，强调”此乃先贤遗意，在下不过疏解贯通”。切忌说”此乃番邦新术，胜于中土”——一则伤士人自尊，招致排斥；二则非实，中国确有此学之萌芽。把微积分讲成”华夏旧学的系统化”，既合史实，又顺人情。

六、价值评估

维度	评级	说明
难度	★★★★★	须先通阿拉伯数字、代数、几何、三角，再及此篇。门槛为全书最高。
立身价值	★★★★	不直接变现，却是陈砚日后一切精密工程（弹道、水利、历法、结构优化）的数学根基。战略价值极高。
变现速度	慢	无短期回报。须待陈砚在工程实践中用上（如算弹道射程表、优化铸炮用料），方显其利。数年乃至十数年方见真章。
政治风险	低	纯数学，不涉禁榷兵器。唯一风险是被士大夫斥为”无用之辩”或”妖言之苗”，须以”格物致知”包装。
推荐优先级	中后	落地初期不必碰。待阿拉伯数字、代数、几何、三角四篇俱已扎根，书院已有成器弟子，再及此篇。约在政和年间（1111后）推进为宜。

七、升级路径

极限思想（本篇第一步）：日取其半，割圆术，”趋于”之意。
导数概念（本篇第三、四步）：瞬时变化率，幂函数与多项式求导。
积分概念（本篇第五步）：面积与路程，切薄片相加，祖暅原理与隙积术。
基本定理（本篇第六步）：牛顿-莱布尼茨公式，微分积分互逆。
基本积分公式（本篇第七步）：多项式积分，常数与和的积分。
应用三则（本篇第八步）：面积、路程、极值。
超越函数之导数积分（后学）：须先有对数表与三角函数表，再教 1/x 之积分为对数、sin/cos 互为原函数。
微分方程初步（后学）：以导数关系描述自然规律（如运动方程、衰减律），此乃物理建模之始。
级数展开（后学）：泰勒展开，以多项式逼近任意函数，编三角函数表与对数表之利器。
严密化（远后学）：ε-δ 定义，实数理论——此非北宋之事，留待数百年后。

八、参考

《庄子·天下》：”一尺之棰，日取其半，万世不竭。”——极限思想之最早表述。
刘徽《九章算术注》（公元263年）：”割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”——割圆术，圆周率 ¹⁵⁷⁄₅₀ = 3.14、3927/1250 = 3.1416。
祖冲之、祖暅《缀术》（已佚，说见《隋书·律历志》及李淳风注《九章算术》所引）：”缘幂势既同，则积不容异。”——祖暅原理，球体积公式 V = (⁴⁄₃)πr³。西方卡瓦列利于17世纪重新发现，晚一千一百年。
沈括《梦溪笔谈》卷十八”技艺”门：隙积术、会圆术。隙积公式 S = n/6 × [a(2b+B) + A(2B+b) + (B−b)]，高阶等差级数求和之始。
杨辉《详解九章算法》（南宋）：发展隙积术，提出新垛积公式。
朱世杰《四元玉鉴》（元，1303）：垛积术与招差术之集大成。
牛顿《流数法与无穷级数》（成于1671，死后出版）：流数（导数）概念，运动学进路。
莱布尼茨《新方法》（1684，Acta Eruditorum）：微分法与 ∫、dx 符号，沿用至今。
微积分基本定理：牛顿与莱布尼茨各自独立发现，揭示微分与积分互为逆运算。其几何证明首见于詹姆斯·格里高利（1638—1675），一般形式由艾萨克·巴罗证明，牛顿完善，莱布尼茨系统化并创记号。

【政和三年·汴京·陈砚】

竹纸上的图已画到正九十六边形，墨色淡得几乎看不见。陈砚搁下笔，把那张图举到灯前——层层多边形挤在圆里，像年轮，像水波，像一个人从远处走来越走越近。学徒又凑过来看，盯着看了半晌，忽然说：”陈秀才，学生好像懂了一点——那一点’差’，不是没了，是被’割’没了，割到最后，差就成了零。”陈砚点点头，没说话。他心里清楚：这孩子未必真懂极限，可他已经摸到了那扇门的门环。门后头，是从牛顿到莱布尼茨、从欧拉到柯西的整整三百年。陈砚自己推不开那扇门——他只有工科生的微积分底子，推不动那么远。但他能把门环塞进这孩子手里。三百年太长，可门环先得有人摸。窗外汴河流水声隐隐传来，陈砚把那张图小心卷起，收进书匣。明日，他要教这孩子算第一道真正的积分。