对数表与算盘

【大观元年·汴京·陈砚】

大观元年的初秋，汴京凉意渐生。陈砚案上摊着三样东西：一把上好的红木算盘，是万胜行东家送的谢礼；一沓写满数字的竹纸，是他这半月手算的对数表草稿；还有一支竹尺，上面他用小刀刻了一行密密的刻度——那是对数刻度，相邻刻度间距不等，左疏右密，看似古怪，却是化乘除为加减的器物。前日司天监一位老吏来问：欲推五星行度，须算 365.25 的 12 次方，筹算摆了三日未毕。陈砚听了，心想：这正是对数登场的时机。算盘善加减而对乘除力拙，对数恰好补其短——两者配合，便是计算机出现之前最高效的算法。他拿起竹尺端详片刻，又提起笔，在草稿顶端补一行字：”log(ab) = log(a) + log(b)“。

0. 一句话价值

对数把乘除化为加减、把乘方开方化为乘除——与算盘配合，是计算机出现前人类最高效的算法，天文、工程、金融大数计算的利器。

1. 科学原理

对数的核心思想一句话可尽：化乘除为加减。

若有一数 a，其对数记作 log(a)。对数满足两条基本性质：

log(a × b) = log(a) + log(b)
log(a ÷ b) = log(a) − log(b)

由此，欲算两数之积 a × b，不必直接乘，只须：

查表得 log(a)、log(b)；
相加得 log(a) + log(b) = log(a × b)；
反查表（查”反对数”），由 log(a × b) 得 a × b。

除法同理，改为相减。乘方与开方更妙：

log(aⁿ) = n × log(a)
log(ⁿ√a) = log(a) ÷ n

故 a 的 12 次方，只须查 log(a)，乘以 12，再反查表即得——三日之功化为半刻。

对数的底数可任取。常用者二：

常用对数（以 10 为底）：log₁₀(a)，记作 lg(a)。布里格斯（Briggs, 1624）所倡，因与十进制契合，工程计算最便。
自然对数（以 e 为底）：ln(a)，e ≈ 2.71828。微积分之用，陈砚此时可暂不教。

对数之发明，源于简化天文大数计算之需。苏格兰人纳皮尔（John Napier）于 1614 年出版《奇妙的对数表》，首次公开对数概念与表；瑞士人比尔吉（Bürgi）独立发明稍晚。此被誉为 17 世纪三大数学发明之一（另二者为解析几何、微积分）。与解析几何、微积分不同，对数是纯粹的”计算工具”——不靠天才灵感，只靠一张表、一把尺，便能把数日之功缩为数刻。

计算尺是对数的器物化。将对数刻度刻于两根可相对滑动的尺上，则两数之积对应刻度之加（尺之滑动相加），除法对应滑动相减。1620 年甘特（Gunter）首刻对数于尺（甘特尺），1621 年奥特雷德（Oughtred）以两把甘特尺制成首把计算尺，1630 年又制圆形计算尺。计算尺精度有限（约三位有效数字），无小数位（须心算估位），但便携速算，是工程师三百年之随身利器，直至 20 世纪 70 年代电子计算器普及方退。

2. 北宋背景

大观年间的汴京，计算工具已是”算盘天下”，然大数乘除仍是大难。

算盘之盛。 宋代算盘已普及。《清明上河图》中”赵太丞家药铺”柜台上绘有算盘（学界尚有争议，但至迟南宋已成熟无疑）；1921 年河北巨鹿故城（宋大观二年黄河决口所淹）出土木质算盘珠，扁圆形、有孔，与今通用算珠无异，是宋代算盘之铁证。宋代”算盘”二字已见于文献，珠算口诀（九归除法等）逐渐成型。算盘之长在加减——拨珠如飞，目不暇接；其短在乘除与乘方——须口诀配合，多位乘除繁琐易错，乘方开方更须反复运算，大数尤难。

筹算之余。 筹算在宋代渐被算盘取代，然天文历法、高次方程仍用筹算（增乘开方法、正负开方术）。筹算之长在开方解方程，其短在乘除繁琐、不留过程。司天监推五星行度，动辄多位大数连乘，筹算摆满一案，一日难竟一题。

对数之缺。 对数 1614 年方由纳皮尔发明，17 世纪中叶（清初）经穆尼阁、薛凤祚《比例对数表》（又名《历学会通》）传入中国，称”假数”“比例数”。康熙朝《数理精蕴》始系统介绍，称”对数比例”。换言之，大观元年（1107）的汴京，对数尚未问世，更未传入——陈砚所引入者，是比历史提前五百余年的”未来算法”。

陈砚的优势：对数概念、对数表、计算尺，皆为现成知识，无须试错。所需物料仅为纸笔墨（编表）与竹木（制尺），与宋人日常无二。难点不在”造”，而在”教”——对数概念抽象，须以大量实例令宋人会意。

3. 知识体系构建步骤

第一步：教对数之”理”——化乘为加

先不讲定义，只讲效果。取两数，如 100 与 1000：

100 × 1000 = 100000
log(100) = 2      （因为 10² = 100）
log(1000) = 3     （因为 10³ = 1000）
log(100) + log(1000) = 2 + 3 = 5
10⁵ = 100000      ✓

令学生验之：积之对数 = 对数之和。再取除法：

1000 ÷ 100 = 10
log(1000) − log(100) = 3 − 2 = 1
10¹ = 10      ✓

教诀：“乘变加，除变减，乘方变乘，开方变除”。此一句胜千言。反复以 10 的幂验之，令学生先信其理，再究其故。

第二步：教常用对数之定义

以 10 为底的对数：log₁₀(a) = b，意为 10^b = a。

log(1)   = 0      （10⁰ = 1）
log(10)  = 1      （10¹ = 10）
log(100) = 2      （10² = 100）
log(1000)= 3      （10³ = 1000）

凡 1 与 10 之间之数，其对数在 0 与 1 之间；10 与 100 之间者，对数在 1 与 2 之间。此即”首数”与”尾数”之分：

log(235) = 2 + log(2.35) ≈ 2.371
          首数     尾数

首数即整数位数减一，可一眼看出；尾数须查表。教学生：查表只查尾数，首数自定。

第三步：编对数表

此乃本篇最耗工之力。须编一份”常用对数表”，列 1 至 10（或 1.0 至 9.9，每 0.1 一行）之对数值，精度四位或五位。

编表之法：

初阶：陈砚凭记忆中数值（如 log(2) ≈ 0.3010、log(3) ≈ 0.4771、log(7) ≈ 0.8451）与 10 的幂推算，先编一份粗表。
进阶：以级数法精算。ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − ……，再换底 log₁₀(a) = ln(a) / ln(10)。此法精确，须先教级数与换底，难度大，可留待后学。
务实：陈砚先编四位对数表（1.0 至 9.9，每 0.1 一行，共 90 行），令学徒以算盘反复校核。表成刻版印行，分发商号与司天监。

第四步：教查表与反对数

查表：已知 a，求 log(a)。

求 log(235)：
  235 = 2.35 × 100，首数 = 2
  查表 log(2.35) ≈ 0.3711
  故 log(235) ≈ 2.3711

反对数（反查表）：已知 log(a)，求 a。

求 antilog(2.3711)：
  首数 2 → 10² = 100
  尾数 0.3711 查反对数表 → 2.35
  故 a = 2.35 × 100 = 235

教诀：“正查知积之对数，反查知对数之积”。须反复练查表与反查，令学生如拨算盘般熟练。

第五步：教对数运算——乘除乘方开方

乘法，求 235 × 47：

log(235) ≈ 2.3711
log(47)  ≈ 1.6721
相加：    4.0432
反查：    antilog(4.0432) ≈ 11045
验：235 × 47 = 11045 ✓

除法，求 11045 ÷ 235：

log(11045) ≈ 4.0432
log(235)   ≈ 2.3711
相减：       1.6721
反查：       antilog(1.6721) ≈ 47 ✓

乘方，求 1.05¹²（月息五厘，十二月复利）：

log(1.05) ≈ 0.0212
乘 12：    0.2543
反查：     antilog(0.2543) ≈ 1.796
故 1.05¹² ≈ 1.796（本利和约为本金 1.8 倍）

开方，求 √2：

log(2) ≈ 0.3010
除 2：  0.1505
反查：  antilog(0.1505) ≈ 1.414
故 √2 ≈ 1.414 ✓

教诀：“乘方乘对数，开方除对数”。此四例须令学生反复练，体会”大数难算之题，对数化简之妙”。

第六步：与算盘配合

算盘善加减，对数善化乘除为加减。两者配合之workflow：

1. 查对数表：log(a)、log(b)        —— 纸面查表
2. 算盘加减：log(a) ± log(b)        —— 算盘拨珠
3. 反查对数表：antilog(结果)        —— 纸面查表

如此，算盘做加减（其所长），对数表做乘除（其所化），各取所长，效率倍增。陈砚可定一”算盘—对数”协同规程，令学徒照行。

第七步：制计算尺

取竹木之尺两根，各刻对数刻度（刻度间距 = log(刻度值) × 尺长系数）：

1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10
（刻度左疏右密，因 log 之增长渐缓）

两尺相对滑动，可读积商：

乘法：滑尺上”1”对准定尺上 a，则滑尺上 b 所对定尺之刻度即 a × b。
除法：滑尺上 b 对准定尺上 a，则滑尺上”1”所对定尺之刻度即 a ÷ b。

计算尺精度约三位有效数字，无小数位（须心算估位），但便携速算，无须翻表。陈砚可制数把分赠商号与工坊。

第八步：实战应用

选题须贴近汴京实务：

复利精算：印子钱月利滚算，旧法筹算数日，对数半刻可毕。
天文推步：五星行度之连乘连除，司天监旧法数日，对数数时辰。
工程估算：筑城、铸钟之用料连乘（长 × 宽 × 高 × 比重），大数速算。
航海定位：球面三角之乘除（须配合三角函数表，衔接几何篇）。
人口统计：各路户数连乘连除之汇总。

每题先用算盘旧法算一遍，再用对数算一遍，对照显效——此举最能服人。

第九步：说服士大夫

托名”回回测天之妙法”，称此法得自大食（阿拉伯）天文学家，用以推五星行度。强调”非新术，乃算术之捷径”，与宋人筹算之”以加减代乘除”思想同源（纳皮尔算筹即类似）。对士大夫讲”对数乃’数之shortcut’，化繁为简，与《易》之’易简而天下之理得’暗合”；对商人讲”对数即’一表在手，万金可算’“，直指其利。

4. 难点与避坑

一、概念之抽象。 对数定义”10^b = a 则 log(a) = b”，须先懂指数。宋人无指数概念，骤讲对数必懵。对策：先不讲定义，只讲效果（化乘为加），以大量实例令学生信其有效；待熟练后再回头讲定义与指数，水到渠成。此即”先用后理”之法。

二、首数尾数之混。 初学最易把首数当尾数查，或忘加首数。须令学生牢记：“首数看位数，尾数查表”。如 log(2350)，位数 4，首数 3；尾数查 2.35 得 0.3711；合为 3.3711。反复练，至不假思索。

三、小数位之失。 对数表只给尾数，结果之小数位须心算估。如 antilog(4.0432)，首数 4 意为五位整数，故结果约 11045 而非 1104.5 或 110450。初学易错位，须令学生养成”先估数量级，再查表”的习惯。

四、负首数之惑。 小于 1 之数，其对数为负。如 log(0.0235) = −2 + 0.3711 = −1.6289，或记作 2̄.3711（首数上加横线表负）。此记法宋人极易混淆。对策：初学只教大于 1 之数，待熟练后再引入负首数；或统一用纯小数表示（−1.6289），避免首数尾数分离。

五、表之误差累积。 四位对数表，每步误差约 0.01%，多步运算累积可至 1%。精密计算（天文、铸炮）须用五位或六位表。对策：日常商用四位足矣，天文工程须精编五位表，且关键步骤以算盘验算。

六、计算尺之精度限。 计算尺仅三位有效数字，且无小数位，不能直接加减。须讲明：计算尺是”速估之器”，非”精算之器”；精算须查表，速估用尺。两者分工，不可混用。

七、对数与算盘之”争”。 老账房或视对数为”旁门左道”，坚持算盘口诀。须不争优劣，只论效率：以同题对照，令其自见高下。又须强调”算盘不废”——加减仍用算盘，对数只补乘除之短，非取而代之。

5. 价值评估

基础价值：对数是计算机出现前最高效的算法。天文推步、工程精算、金融复利、航海定位——凡涉大数乘除乘方开方，皆可化简。无对数，则五星行度须筹算数日，复利滚算须算盘半旬，开高次方几乎不可能。

经济价值：商号复利精算效率提升数十倍。万胜行老账房算三年滚利，旧法三日，对数半刻。司天监推五星行度，旧法数日，对数数时辰。省下的人力即是钱，省下的时辰即是机。

战略价值：陈砚日后布局天文（推步验历）、军工（弹道射程）、海贸（航海定位）、情报（密码统计），每条线都须大量大数计算。对数表一旦刻版传世，便是汴京最高效的”计算引擎”——一张纸、一把尺、一把算盘，便抵得上一个算房。

更深远：对数与解析几何、微积分并称 17 世纪三大数学发明。对数不仅是计算工具，更蕴含”函数变换”思想——把乘法群映射到加法群，此乃近代数学”同构”概念之雏形。陈砚种下此因，百年之后，其后学或能由此悟出更深之理。

6. 升级路径

对数之理与查表（本篇）：化乘除为加减，四位常用对数表。
对数运算实战：乘除乘方开方，与算盘协同。
计算尺：对数刻度尺，速估之器。
五位六位对数表：精密计算之需，衔接天文篇。
自然对数与 e：微积分之用，ln 与 e ≈ 2.71828。
对数与级数：ln(1+x) 级数展开，编表精算之法。
指数函数与对数函数：从计算工具到函数概念，衔接代数篇。
微积分思想：以对数与指数为桥梁，引入变化率与面积。

7. 参考

约翰·纳皮尔（John Napier, 1550—1617）《奇妙的对数表的描述》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614）：对数首次公开。
约斯特·比尔吉（Jost Bürgi, 1552—1632）：独立发明对数，稍晚于纳皮尔。
亨利·布里格斯（Henry Briggs, 1561—1630）《对数算术》（Arithmetica Logarithmica, 1624）：常用对数（以 10 为底），十四位对数表。
埃德蒙·甘特（Edmund Gunter, 1581—1626）：1620 年刻对数于尺（甘特尺），计算尺之雏形。
威廉·奥特雷德（William Oughtred, 1574—1660）：1621 年以两把甘特尺制成首把计算尺，1630 年制圆形计算尺。
阿梅代·马内姆（Amédée Mannheim, 1831—1906）：1850 年改进计算尺，加游标，定型现代计算尺。
薛凤祚、穆尼阁《比例对数表》（又名《历学会通》，清初）：对数首次传入中国，称”假数”“比例数”。
康熙朝《数理精蕴》（1723）：系统介绍对数，称”对数比例”，”对数”之名始定。
《清明上河图》（北宋张择端）：”赵太丞家药铺”柜台绘有算盘图样。
河北巨鹿故城出土宋代木质算盘珠（1921 年发掘，宋大观二年黄河决口所淹）：宋代算盘之实物铁证。
程大位《直指算法统宗》（1592）：珠算集大成之作，算盘用法与口诀之典范。

【大观元年·汴京·陈砚】

又过半月，司天监那位老吏再来，拿回一张写满数字的纸，纸上算的是 365.25 的 12 次方——用对数，半刻即毕，结果是 1.018×10³⁰ 量级，与旧法筹算三日所得吻合。老吏抚掌叹道：”此法真乃神术。”陈砚摇头：”非神术，乃算术之捷径。算盘做加减，对数化乘除，二者配合，便无难算之题。”他把那把刻了对数刻度的竹尺递给老吏：”这尺子随身可带，估数虽粗，却胜在速——你若在城头望见烟尘，量一仰角，滑一滑尺，便知敌骑远近。”老吏接过尺子，半信半疑地试着滑动两下，忽然眼睛一亮。陈砚看着他的背影消失在巷口，心想：对数表一旦刻版印行，计算尺一旦成批制出，汴京便有了第一套”大数计算引擎”——往后推历法、算复利、估弹道、画地图，都要从这张表、这把尺算起。